如图,半径为25的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.(1)求证:PA•PB=PC•PD;(2)设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EF

如图,半径为25的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.(1)求证:PA•PB=PC•PD;(2)设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EF

题型:不详难度:来源:
如图,半径为2


5
的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.
(1)求证:PA•PB=PC•PD;
(2)设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EF⊥AD;
(3)若AB=8,CD=6,求OP的长.
答案
(1)证明:∵∠A、∠C所对的圆弧相同,
∴∠A=∠C,
∴Rt△APDRt△CPB,
AP
CP
=
PD
PB

∴PA•PB=PC•PD;(3分)

(2)证明:∵F为BC的中点,△BPC为直角三角形,
∴FP=FC,∴∠C=∠CPF.
又∠C=∠A,∠DPE=∠CPF,
∴∠A=∠DPE.
∵∠A+∠D=90°,
∴∠DPE+∠D=90°,
∴EF⊥AD;(7分)

(3)作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接PO,
∴OM2=(2


5
2-42=4,ON2=(2


5
2-32=11,
易证四边形MONP是矩形,
∴OP=


OM2+ON2
=


15
.(7分)
举一反三
如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1,AB=10,则直径CD的长为______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图所示,在⊙O中,点A在圆内,B、C在圆上,其中OA=7,BC=18,∠A=∠B=60°,则tan∠OBC=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知⊙O中,
AC
=
CE

(1)如图1,求证:CO⊥AE;
(2)如图2,CD⊥直径AB于D,若BD=1,AE=4,求⊙O的半径.
题型:不详难度:| 查看答案
设AB,CD是⊙O的两条弦,ABCD,若⊙O半径为5,AB=8,CD=6,则AB与CD之间的距离为______.
题型:不详难度:| 查看答案
⊙O的弦AB的长为8cm,⊙O的半径为5cm,则弦AB的弦心距为(  )
A.6cmB.5cmC.3cmD.2cm
题型:不详难度:| 查看答案
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