(1)证明:连接OD,CD, ∵△ABC为等边三角形, ∴AC=BC, ∵BC为圆O的直径, ∴∠BDC=90°, ∴CD⊥AB, ∴D为AB的中点, 又O为BC的中点, ∴OD为△ABC的中位线, ∴OD∥AC, ∵DE⊥AC, ∴DE⊥OD, 则DE与圆O相切;
(2)连接BF,OF,由(1)同理得到OF∥AB, ∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠FOC=∠DOB=60°, ∴∠DOF=60°, ∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴DE∥BF, ∵D为AB的中点, ∴E为AF中点,即DE为△ABF的中位线, ∴BF=2DE=2, 在Rt△BCF中,∠CBF=30°, 设CF=x,则BC=2x, 根据勾股定理得:(2)2+x2=(2x)2, 解得:x=2, ∴等边△BOD和△COF边长都为2,半圆半径为2, 则△ABC与半圆O重合部分的面积S=2S△BOD+S扇形DOF=2××4+=2+.
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