如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系?并说明理由;(

如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系?并说明理由;(

题型:不详难度:来源:
如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系?并说明理由;
(2)若⊙O的半径为


3
,DE=3,求AE的长.
答案
(1)直线DE与⊙相切.理由如下:
连接OE,BE,
∵AB是直径.
∴BE⊥AC.
∵D是BC的中点,
∴DE=DB.
∴∠DBE=∠DEB.
又OE=OB,
∴∠OBE=∠OEB.
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB.
即∠ABD=∠OED.
但∠ABC=90°,
∴∠OED=90°,
又∵EO为⊙O半径,
∴DE是⊙O的切线.

(2)∵∠ABC=90°,AB=2


3
,BC=2DE=6,
∴AC=4


3

∴BE=3.
∴AE=


3

举一反三
如图,直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点,弦ACPM,连接OM、BC.
求证:(1)△ABC△POM;(2)2OA2=OP•BC.
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如图,B为线段AD上一点,△ABC和△BDE都是等边三角形,连接CE并延长交AD的延长线于点F,△ABC的外接圆⊙O交CF于点M.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=CM•CF;
(3)若CM=
2


7
7
,MF=
12


7
7
,求BD;
(4)若过点D作DGBE交EF于点G,过G作GHDE交DF于点H,则易知△DGH是等边三角形.设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S1、S2、S3,试探究S1、S2、S3之间的等量关系,请直接写出其结论.
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如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O直径,过点A的切线与CB的延长线交于点E.
(1)求证:EA2=EB•EC;
(2)若EA=AC,cos∠EAB=
4
5
,AE=12,求⊙O的半径.
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⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过点C的切线与AB的延长线相交于点D,AE⊥DC交DC于点E.
(1)求证:AC是∠EAB的平分线;
(2)若圆的半径为3,BD=2,DC=4,求AE和BC.
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如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠A=40°,则∠C=______.
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