如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,于点D,AD⊥BC过点B作⊙O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与C

如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,于点D,AD⊥BC过点B作⊙O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与C

题型:不详难度:来源:
如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,于点D,AD⊥BC过点B作⊙O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.
(1)求证:BF=EF;
(2)求证:PA是⊙O的切线;
(3)若FG=BF,且⊙O的半径长为3


2
,求BD和FG的长度.
答案
(1)证明:∵BC是⊙O的直径,BE是⊙O的切线,
∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC,
∴ADBE.
∵△BFC△DGC,△FEC△GAC,
BF
DG
=
CF
CG
EF
AG
=
CF
CG

BF
DG
=
EF
AG

∵G是AD的中点,
∴DG=AG.
∴BF=EF.

(2)证明:连接AO,AB,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°.
在Rt△BAE中,由(1),知F是斜边BE的中点,
∴AF=FB=EF.
∴∠FBA=∠FAB.
又∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO.
∵BE是⊙O的切线,
∴∠EBO=90°.
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°,
∴PA是⊙O的切线.

(3)过点F作FH⊥AD于点H,
∵BD⊥AD,FH⊥AD,
∴FHBC.
由(2),知∠FBA=∠BAF,
∴BF=AF.
由已知,有BF=FG,
∴AF=FG,即△AFG是等腰三角形.
∵FH⊥AD,
∴AH=GH.
∵DG=AG,
∴DG=2HG.
HG
DG
=
1
2

∵FHBD,BFAD,∠FBD=90°,
∴四边形BDHF是矩形,BD=FH.
∵FHBC,易证△HFG△DCG,
FH
CD
=
FG
CG
=
HG
DG

BD
CD
=
FG
CG
=
HG
DG
=
1
2

∵⊙O的半径长为3


2

∴BC=6


2

BD
CD
=
BD
BC-BD
=
BD
6


2
-BD
=
1
2

解得BD=2


2

∴BD=FH=2


2

FG
CG
=
HG
DG
=
1
2

∴CF=3FG.
在Rt△FBC中,
∵CF=3FG,BF=FG,
∴CF2=BF2+BC2∴(3FG)2=FG2+(6


2
2
解得FG=3(负值舍去)
∴FG=3.
举一反三
如图,PA为圆的切线,A为切点,PBC为割线,∠APC的平分线交AB于点D,交AC于点E.
求证:(1)AD=AE;(2)AB•AE=AC•DB.
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圆外切等腰梯形的底角为30°,中位线的长为8,则该圆的直径长为______.
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如图,AB是⊙O的直径,AB=10,DC切⊙O于点C,AD⊥DC,垂足为D,AD交⊙O于点E.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若sin∠BEC=
3
5
,求DC的长.
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如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PC是⊙O的切线,C为切点,PC=2,PB=4,则⊙O的半径等于(  )
A.1B.2C.
3
2
D.


6
2

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OA平分∠BOC,P是OA上任一点(O除外),若以P为圆心的⊙P与OC相离,那么⊙P与OB的位置关系是______.
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