(1)证明:∵OA=OC, ∴∠A=∠ACO. 又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB, ∴∠A=∠ACO=∠PCB. 又∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACO+∠OCB=90°. ∴∠PCB+∠OCB=90°. 即OC⊥CP, ∵OC是⊙O的半径. ∴PC是⊙O的切线.(3分)
(2)证明:∵AC=PC, ∴∠A=∠P, ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P. 又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB, ∴∠COB=∠CBO, ∴BC=OC. ∴BC=AB.(6分)
(3)连接MA,MB, ∵点M是 | AB | 的中点, ∴ | AM | = | BM | , ∴∠ACM=∠BCM. ∵∠ACM=∠ABM, ∴∠BCM=∠ABM. ∵∠BMN=∠BMC, ∴△MBN∽△MCB. ∴=. ∴BM2=MN•MC. 又∵AB是⊙O的直径, | AM | = | BM | , ∴∠AMB=90°,AM=BM. ∵AB=4, ∴BM=2. ∴MN•MC=BM2=8.(10分) |