(1)证法一:连接CD,OC、OD为⊙O的半径, 且OC⊥EC,DF⊥OE ∴FD、FC为⊙O的两条切线 .∴FD=FC ∴∠1=∠2. 又∵BC为⊙O的直径, ∴∠BDC=90° ∴∠CDA=180°-90°=90°. 在Rt△CAD中,∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90° 又∵∠1=∠2.∠3=∠4. ∴FD=FA 又FD=FC. ∴AF=CF. 证法二:连接OF,证明FD=FC的步骤同证法一. ∵FC⊥OC,FD⊥OD∴ OF为∠COD的平分. ∠5=∠6. 又∵∠5+∠6=∠7+∠B,OB=OD ∴∠7=∠B. ∴2∠5=2∠7 ∴∠5=∠7. ∴OF∥BA. ∵O为BC的中点. ∴AF=CF.
(2)设⊙O的半径为R,在Rt△OCE中,OE=OD+DE=R+2, sin∠E=,由sin∠E=得R=3 在Rt△EDF中,siN∠E=,ED=2.设DF=3k,EF=5k, 根据勾股定理,得(3k)2+22=(5k)2, 解得k= ∴DF=,EF=∴AC=2AF=2DF=3. 在Rt△ABC中,AB=3 ∵AC和ADB分别为⊙O的切线和割线, ∴AC2=AD•AB, 解得AD=.
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