(1)证明:连接OD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA.(1分) ∵AD平分∠BAC, ∴∠OAD=∠CAD.(2分) ∴OD∥AC.(3分) ∵∠C=90°, ∴OD⊥BC于D. ∴BC是⊙O的切线.(4分)
(2)过D作DG⊥AB于G, ∴DG=DC,AG=AC.(5分) 设DC=x,则BD=16-x,BG=8, ∴82+x2=(16-x)2 ∴x=6.(6分) 设半径为r,则(12-r)2+62=r2 ∴r=7.5. ∴EG=3.(7分) 连接DE,DF,易证△DGE≌△DCF, ∴CF=3, ∴AF=9.(8分)
(2)证法2:(如图)连OD,OF,作OM⊥AF于M; 设DC=x,(x的求法同于前面) ∴x=6; ∵OM⊥AF,OD⊥BC,则MC=OD=R,OM=DC=6,AM=12-R, ∴R2=(12-R)2+62, ∴R=7.5, ∴AM=12-7.5=4.5, ∴AF=2AM=9.
证法3:(如图)连EF,与OD交于H点,设DC=x ∴x=6,(求法同前); 在Rt△BOD中,BO=20-R,OD=R,BD=10; ∴(20-R)2=R2+102, ∴R=7.5, ∴AE=15; ∵EF=2FH=2CD=12, 在Rt△EAF中,AF2=AE2-EF2=152-122=81, ∴AF=9.
证法4,(如图)连EF;设DC=x, ∴x=6,(求法同前) ∴EF=2FH=2CD=12; ∵S△BEF+S梯形EFCB=S△ABC, EF•BF+(EF+BC)•(AC-AF)=AC•BC, ∴AF=9.
|