已知：∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4（如图）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心．

题型：不详难度：来源：

已知：∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4（如图）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心．
（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；
（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=x，AC•AO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．

答案

（1）证明：如图1，连接OB，OP．
∵O是等边三角形BPQ的外心，
∴圆心角∠BOP=

360°

3

=120°．
当∠MAN=60°，不垂直于AM时，作OT⊥AN，则OB=OP．
由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360°，且∠A=60°，∠AHO=∠ATO=90°，
∴∠HOT=120度．
∴∠BOH=∠POT．
∴Rt△BOH≌Rt△POT．
∴OH=OT．
∴点O在∠MAN的平分线上．
当OB⊥AM时，∠APO=360°-∠A-∠BOP-∠OBA=90°．
即OP⊥AN，
∴点O在圆I的平分线上．
综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在∠MAN的平分线上．

（2）如图2，
∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°，
∴∠BAO=∠PAO=30°．
由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°，
∴∠CBO=30°，
∴∠CBO=∠PAC．
∵∠BCO=∠PCA，
∴∠AOB=∠APC．
∴△ABO∽△ACP．
∴

AB

AC

=

AO

AP

．
∴AC•AO=AB•AP．
∴y=4x．
定义域为：x＞0．

（3）①如图3，当BP与圆I相切时，AO=2

3

；
②如图4，当BP与圆I相切时，AO=

4

3

3

；
③如图5，当BQ与圆I相切时，AO=0．