如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE为直径的圆O过点D．（1）求证：

题型：不详难度：来源：

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE为直径的圆O过点D．
（1）求证：AC是圆O的切线；
（2）求AE的长．

答案

（1）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，即∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OD⊥AC；
又∵点D在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线．

（2）Rt△ABC中，AC=4，BC=3，则AB=5；
在Rt△AOD中，设AD=4x，则OD=3x，OA=5x；
∵OE=OD=3x，
∴AE=OA-OE=2x，
由于AB=AE+BE=2x+6x=5，故x=

5

8

，
∴AE=2x=

5

4

．