在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是⊙O的直径，弦DE与AC交于点E，且BD=BF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积

题型：不详难度：来源：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是⊙O的直径，弦DE与AC交于点E，且BD=BF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

答案

（1）证明：连接OE，
∵BD=BF，
∴∠BDF=∠F，
∵OD=OE，
∴∠BDF=∠OED，
∴∠OED=∠F，
∴OE∥BC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°，
即OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）设半径为x，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴

AO

AB

=

OE

BC

，
∵BC=6，AD=4，
∴AO=4+x，AB=4+2x，
∴

4+x

4+2x

=

x

6

，
解得：x=4或x=-3（舍去）．
∴⊙O的面积为：16π．