(1)OA∥BC. 理由:∵OA=OC, ∴∠1=∠3. ∵∠1=∠2, ∴∠2=∠3. ∴OA∥BC.
(2)证明:(方法一)∵ | AB | = | BC | , ∴∠2=∠4. ∵∠2=∠1, ∴∠1=∠4. ∴AB∥OC. 由(1)得∴OA∥BC. ∴四边形OABC是平行四边形. 又∵OA=OC, ∴四边形OABC是菱形. (方法二)∵ | AB | = | BC | , ∴∠2=∠4. 由(1)得∠2=∠3, ∴∠3=∠4. 在△AOC与△ABC中,∠1=∠2,AC=AC,∠3=∠4, ∴△AOC≌△ABC. ∴OA=BA,OC=BC. 又∵OA=OC, ∴OA=AB=BC=OC. ∴四边形OABC是菱形. (方法三)连接OB, ∵ | AB | = | BC | , ∴∠3=∠4,AB=BC. 由(1)得OA∥BC, ∴∠3=∠5. ∴∠4=∠5. ∴BC=OC. 又∵OA=OC, ∴OA=AB=BC=OC. ∴四边形OABC是菱形. (方法四)连接OB,∵ | AB | = | BC | , ∴∠3=∠4. 又∵OA=OC, ∴OB垂直平分AC. 由(1)得OA∥BC. ∴∠3=∠5. ∴∠4=∠5. ∴BC=OC. 又∵∠1=∠2, ∴AC垂直平分OB. ∴AC与OB互相垂直平分, ∴四边形OABC是菱形.
(3)∵AP与⊙O相切, ∴∠OAP=90°. 由(1)得OA∥BC, ∴∠P=90°. 由(2)得OA=AB=4, 又∵OA=OB, ∴△OAB是等边三角形. ∴∠OAB=60°. ∴∠BAP=30°. 在Rt△ABP中,PB=AB=2,AP=AB×cos∠PAB=4cos30°=2. ∴△ABP的周长为4+2+2=6+2.
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