(1)证明:由已知,CD⊥BC, ∴∠ADC=90°-∠CBD. 又∵⊙O切AY于点B, ∴OB⊥AB. ∴∠OBC=90°-∠CBD. ∴∠ADC=∠OBC. 又在⊙O中,OB=OC=R, ∴∠OBC=∠ACB. ∴∠ACB=∠ADC. 又∠A=∠A, ∴△ABC∽△ACD.
(2)由已知,sinA=, 又OB=OC=R,OB⊥AB, ∴在Rt△AOB中,AO===R,AB==R. ∴AC=R+R=R. 由(1)已证,△ABC∽△ACD, ∴=. ∴=. 因此AD=R. ①当点D与点P重合时,AD=AP=4, ∴R=4. ∴R=. ②当点D与点P不重合时,有以下两种可能: (i)若点D在线段AP上(即0<R<),PD=AP-AD=4-R, (ii)若点D在射线PY上(即R>),PD=AD-AP=R-4, 综上,当点D在线段AP上(即0<R<)时,PD=4-R, 当点D在射线PY上(即R>)时,PD=R-4, 又当点D与点P重合(即R=)时,PD=0,故在题设条件下,总有PD=|R-4|(R>0). |