如图,AB,BC分别是⊙O的直径和弦,点D为BC上一点,弦DE交⊙O于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且HC=HG,连接BH,

如图,AB,BC分别是⊙O的直径和弦,点D为BC上一点,弦DE交⊙O于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且HC=HG,连接BH,

题型:不详难度:来源:
如图,AB,BC分别是⊙O的直径和弦,点D为
BC
上一点,弦DE交⊙O于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且HC=HG,连接BH,交⊙O于点M,连接MD,ME.
求证:
(1)DE⊥AB;
(2)∠HMD=∠MHE+∠MEH.
答案
证明:(1)连接OC,
∵HC=HG,
∴∠HCG=∠HGC;(1分)
∵HC切⊙O于C点,
∴∠OCB+∠HCG=90°;(2分)
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC,(3分)
∵∠HGC=∠BGF,
∴∠OBC+∠BGF=90°,(4分)
∴∠BFG=90°,即DE⊥AB;(5分)

(2)连接BE,
由(1)知DE⊥AB,
∵AB是⊙O的直径,
BD
=
BE
,(6分)
∴∠BED=∠BME;(7分)
∵四边形BMDE内接于⊙O,
∴∠HMD=∠BED,(8分)
∴∠HMD=∠BME;
∵∠BME是△HEM的外角,
∴∠BME=∠MHE+∠MEH,(9分)
∴∠HMD=∠MHE+∠MEH.(10分)
举一反三
如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.
(1)求证:CA是圆的切线;
(2)若点E是BC上一点,已知AE=6,∠ABC=25°,∠AEC=50°,求圆的直径.(精确到0.1)
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如图,在△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,以AC为直径作⊙O交AB于点D.
(1)判断直线BC和⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求AD的长.
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如图,PA、PB切⊙O于点A、B,AC是⊙O的直径,且∠BAC=35°,则∠P=______度.
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如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上,如果∠P=50°,那么∠ACB等于(  )
A.40°B.50°C.65°D.130°

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如图,AB、AC与⊙O相切于B、C,∠A=50°,点P是圆上异于B、C的一动点,则∠BPC的度数是(  )
A.65°B.115°C.65°和115°D.130°和50°

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