(1)证明:连接CE,∵DC和DE都与⊙O相切, ∴DC=DE,∠CDO=∠EDO, ∴OD⊥CE.(1分) 又AC是直径,故∠CEA=90°, 即AE⊥CE, ∴OD∥AB;(2分)
(2)证明: 证法一:DE、DC是⊙O的切线,OD∥AB,故∠ODE=∠ODC=∠B.(3分) ∴Rt△BCE∽Rt△DOE, ∴BC:OD=BE:DE, 即BC•DE=OD•BE.(5分) 而DE是Rt△BCE斜边上的中线,故BC=2DE, ∴2DE2=BE•OD.(6分)
证法二:BC2=BE•BA,OD是△ABC的中位线,(3分) ∴BA=2OD,又BC=2DE, ∴4DE2=BE•2OD, ∴2DE2=BE•OD.(6分)
(3) 解法一:由②和已知条件得DE2=OD,即OD2-OE2=OD.(7分) 两边同除以OD2得1-()2-, 得1-sin2a=, ∴cos2a=(8分)
解法二:注意到D是BC的中点,可知DB=DE, ∴∠DEB=∠DBE=α,于是cosa=(过D作DG⊥EB可知).(7分) 由(2)及已知可得DE2=OD, ∴cos2a=.(8分)
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