如图,已知矩形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O直径,将△BCD沿BD所在的直线翻折后,得到点C的对应点N仍在⊙O上,BN交AD与点M.若∠AMB=60°,⊙O的半

如图,已知矩形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O直径,将△BCD沿BD所在的直线翻折后,得到点C的对应点N仍在⊙O上,BN交AD与点M.若∠AMB=60°,⊙O的半

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如图,已知矩形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O直径,将△BCD沿BD所在的直线翻折后,得到点C的对应点N仍在⊙O上,BN交AD与点M.若∠AMB=60°,⊙O的半径是3cm.
(1)求点O到线段ND的距离;
(2)过点A作BN的平行线EF,判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由.
答案
(1)过点O作OG⊥ND于点G
∴∠OGD=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,
由翻折得
∠N=∠C=90°=∠OGD,
∴OGBN,
∵∠AMB=60°,
∴∠BMD=120°,
易证:△ABM≌△NDM,
∴MB=MD,
∴∠NBD=30°,
∴∠GOD=30°,
在Rt△OGD中,cos30°=
OG
OD
,OD=3,
∴OG=
3


3
2
(cm)

(2)相切.
证明:连接OA交BN与H,
∵∠DBN=30°,
由翻折得∠DBC=∠DBN=30°.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABO=60°,
∵OA=OB,
∴△ABO是等边三角形.
∴∠AOB=60°,
∴∠BHO=90°,
又∵EFBN,
∴∠FAH=90°,
∴OA⊥EF.
∴EF与⊙O相切.
举一反三
如图,边长为1的正方形ABCD中,以A为圆心,1为半径作
BD
,将一块直角三角板的直角顶点P放置在
BD
(不包括端点B、D)上滑动,一条直角边通过顶点A,另一条直角边与边BC相交于点Q,连接PC,并设PQ=x,以下我们对△CPQ进行研究.
(1)△CPQ能否为等边三角形?若能,则求出x的值;若不能,则说明理由;
(2)求△CPQ周长的最小值;
(3)当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时分别求x的取值范围.
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如图所示,圆上有B,C两点,PB,PC为圆的两切线.若
BC
将圆分成两弧,且其中一弧的长为圆周长的
1
10
,则∠BPC的度数为(  )
A.108B.120C.144D.162

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已知:如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点C,BD⊥PD,垂足为D,连接BC.
求证:(1)BC平分∠PBD;
(2)BC2=AB•BD.
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如图,⊙O的直径DF与弦AB交于点E,C为⊙O外一点,CB⊥AB于点B,G是直线CD上一点,∠ADG=∠ABD,ADCE.
(1)求证:AD•CE=DE•DF.
(2)若∠DAE=30°,BC=2,AD=
5
2
,AE:BE=2:3,求
BD
的长.
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如图,AB是⊙O的切线,切点为B,AO交⊙O于点C,过点C作DC⊥OA,交AB于点D,连接OB、OD.已知∠A=30°,⊙O的半径为4.
(1)求BD的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
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