(1)证明∵PC切⊙O于C, ∴∠PCO=90°, ∴∠PCB+∠BCO=90°, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACO+∠BCO=90°, ∴∠PCB=∠ACO, ∵AC=PC, ∴∠CPB=∠CAO, ∴△PBC≌△AOC;
(2)设⊙O的半径为r,则:OB=OC=OA=OM=r. 在Rt△PCO中,PO2=PC2+OC2, ∴(PB+OB)2=AC2+OC2, ∴(2+r)2=AC2+r2, ∴AC2=(2+r)2-r2=4+4r,= 在Rt△ABC中,AB2=BC2+AC2, ∴(2r)2=BC2+4+4r, ∵PC切⊙O于C, ∴∠PCB=∠CAP,又∠CPA=∠CAP, ∴∠PCB=∠CPA, ∴PB=BC, ∴(2r)2=PB2+4+4r, ∴r2-r-2=0,∴(r-2)(r+1)=0, 显然,r>0,∴r=2. ∵AB是定值,∴当△ABM的面积最大时,有:OM⊥AO.此时:AM=OA=2. 又PC2=PB×PA=PB(PB+AB)=2(2+2)=8,∴PC=2,∴AC=2. ∴AC×AM=8. |