在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b,P是边CD上异于点C、D的任意一点.(1)若a=2b,当点P在什么位置时,△APB与△BCP相似?(不必证明)(2)若
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在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b,P是边CD上异于点C、D的任意一点. (1)若a=2b,当点P在什么位置时,△APB与△BCP相似?(不必证明) (2)若a≠2b,①判断以AB为直径的圆与直线CD的位置关系,并说明理由;②是否存在点P,使以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似?(不必证明) |
答案
(1)因为P在边CD上,则在△BCP中,必有∠C=90°,因为两三角形相似时,形状一定相同,故△APB必定是直角三角形,又P点异于C,D,所以∠ABP≠90°,∠BAP≠90°,只能∠APB=90°,此时P只能是CD的中点.(2分)
(2)当a>2b时: ①以AB为直径的圆与直线CD相交(3分) 理由是:∵a>2b ∴b<a ∴AB的中点(圆心)到CD的距离b小于半径a ∴CD与圆相交.(4分)
②当点P为CD与圆的交点时,△ABP∽△PAD,即存在点P(两个),使以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似.(5分) 当a<2b时: 1AB为直径的圆与直线CD相离.(6分) 理由是:∵a<2b ∴b>a ∴AB的中点(圆心)到CD的距离b大于半径a ∴CD与圆相离(7分) ②由①可知,点P始终在圆外,△ABP始终为锐角三角形 ∴不存在点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似.(9分) |
举一反三
如图,⊙O、⊙P交于点A、B,连接OP交AB于点H,交两圆于点C、D,∠OAP=90°,AP=3,CP=1.求⊙O的半径和AB的长. |
如图,已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙Ol的弦AC,连接CB并延长交⊙O2于点D,连
AD.若∠CAB=∠D. (1)求证:AC是⊙O2的切线; (2)若AB:AD=1:2,CD=6,求AC的长. |
如图,四边形ABCD内接于⊙O,过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若AB:DA=BC:ED.求证:AD=AB. |
已知PA是⊙O的切线,A为切点,PBC是割线,且AC是⊙O的直径,若PA=4,BC=6,则sin∠P的值为( ) |
已知:如图,同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E.求证:CD是小圆的切线. |
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