如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm．以AB为直径作圆O，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒

题型：山东省期末题难度：来源：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm．以AB为直径作圆O，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动。
（1）求⊙O的半径长；
（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数表达式，并求出当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）过点D作DE⊥BC于E，
∵AB⊥BC，
∴四边形ADEB为矩形，
∴BE=AD=13，EC=3
又∵CD=5，
∴DE=

=4，即AB=4，
∴⊙O的半径为2cm；
（2）当P、Q运动t秒时，AP=t，CQ=2t
则S_{四边形PQCD}=y=

（13﹣t+2t）×4，
即y=2t+26（0≤t≤8）
当四边形PQCD为等腰梯形时，过P作PF⊥BC于F（如图一），
则有QF=CE=3
∴2t﹣（13﹣t）=6，
则t=

此时四边形PQCD面积y=

（cm²）；
（3）存在．若PQ与圆相切，设切点为G，（如图二）
作PH⊥BC于H
∵A在⊙O上，∠A=90°，
∴AD切⊙O于A，
∵PQ切⊙O于G，
∴由切线长定理得：PG=PA=t．QG=QB=16﹣2t，QH=QB﹣BH=（16﹣2t）﹣t=16﹣3t
PQ=QB+AP=16﹣t
在Rt△PQH中，PQ²=PH²+QH²，
即（16﹣t）²=16+（16﹣3t）²∴t²﹣8t+2=0，
解得