如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且 BC=CD，弦AD的延长线交切线P

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且 BC=CD，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1 ）判断OB和BP的数量关系,并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．

答案

解:（1）OB=BP     
  理由:
连接OC,  ∵PC 切⊙O 于点C  
 ∴∠OCP=90^o
∵OA=OC，∠OAC=30 ^o
∴∠OAC=∠OCA=30 ^o         
∴∠COP=60 ^o
∴∠P=30 ^o  
在Rt△OCP中
OC=OP=OB=BP    
（2）由（1）得OB=OP
∵⊙O的半径是2          
∴AP=3OB=3×2=6                  
∵BC=CD
∴∠CAD= ∠BAC=30 ^o                  
∴∠BAD=60 ^o                        
∵∠P=30 ^o∴∠E=90^o                              
在Rt△AEP中
AE=AP=