试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法,可以运用传统几何法,也可以用空间向量法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,法一,先利用面面垂直的性质判断出,从而平面,所以垂直于面内的任意的线,由,判断是等腰直角三角形,所以且,所以面,利用面面垂直的判定定理得面面垂直,法二,利用空间向量法,通过证明,其它过程与法一相同;第二问,由第一问得到平面的法向量为,而平面的法向量需要计算求出, ,所以,最后用夹角公式求夹角余弦值. 试题解析:(1)解法一:因为面面平面面 为正方形,,平面 所以平面∴ 2分 又,所以是等腰直角三角形, 且,即 , ,且、面, 面 又面,∴面面. 6分 解法二: 如图,
取的中点, 连结,. ∵, ∴. ∵侧面底面, 平面平面, ∴平面, 而分别为的中点,∴, 又是正方形,故. ∵,∴,. 以为原点,向量为轴建立空间直线坐标系, 则有,,,,,. ∵为的中点, ∴ 2分 (1)∵,, ∴, ∴,从而,又,, ∴平面,而平面, ∴平面平面. 6分 (2)由(1)知平面的法向量为, 设平面的法向量为,∵, ∴由,,可得 取,则故. ∴, 即二面角的余弦值为, 12分 |