在Rt△ABC中，直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，点E是BC边的中点，连接DE，（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况．

题型：四川省期中题难度：来源：

在Rt△ABC中，直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，点E是BC边的中点，连接DE，
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况．
（2）若AD、AB的长是方程x²﹣10x+24=0的根，求直角边BC的长．

答案

解：（1）DE与半圆O相切．
证明：连接OD、OE．
∵O、E分别是BA、BC的中点，
∴OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAC．
∴∠BOE=∠EOD．
∵OD=OB，OE=OE，
∴△OBE≌△ODE．
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE与半圆O相切；
（2）∵在Rt△ABC中，BD⊥AC，
∴Rt△ABD∽Rt△ABC，
∴=，即AB²=AD·AC，
∴AC=．
∵AD，AB的长是方程x²﹣10x+24=0的两个根，
∴解方程x²﹣10x+24=0，得：x₁=4，x₂=6．
∵AD<AB，
∴AD=4，AB=6，
∵AC=，AD=4，AB=6，
∴AC=9，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=9．
∴BC===3．