如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）若BC

题型：湖南省期末题难度：来源：

如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）若BC=2，CE=，求AD的长．

答案

（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠BCA=90°．
又∵BC∥OD，
∴OE⊥AC．
∴∠D+∠DAE=90°．
∵∠D=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAE=90°．
∴AD是半圆O的切线．
（2）解：∵BC∥OD，
∴△AOE∽△ABC，
∵BA=2AO，
∴==，
又CE=，
∴AC=2CE=．
在Rt△ABC中，AB==，
∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°，
∴△DOA∽△ABC．
∴即．
∴．