解:(1)∵∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP, 在△ABC中,∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° ∴2∠BCP+2∠BCA=180°, ∴∠BCP+∠BCA=90°, ∴直线CP是⊙O的切线. (2)如下图,作BD⊥AC于点D, ∵PC⊥AC ∴BD∥PC ∴∠PCB=∠DBC ∵BC=2,sin∠BCP=, ∴sin∠BCP=sin∠DBC===, 解得:DC=2,∴由勾股定理得:BD=4, ∴点B到AC的距离为4. (3)如下图,连接AN, 在Rt△ACN中,AC==5, 又CD=2,∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3. ∵BD∥CP,∴,∴CP=. 在Rt△ACP中,AP==,AC+CP+AP=5++=20, ∴△ACP的周长为20. |