含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°，将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A"B"C，A"C边与AB所在直线交于

题型：江苏期末题难度：来源：

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°，将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A"B"C，A"C边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A"B"交CB"边于点E，连接BE。
（1）如图1，当A"B"边经过点B时，α=_____°；
（2）如图2，在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；
（3）如图2，设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=S_△ABC时，求AD的长，并判断此时直线A′C与⊙E的位置关系。

答案

解：（1）当A′B′边经过点B时，α=60°；
（2）猜想：如图2，点D在AB边上时，m=2；
证明：当时，点D在AB边上（如图2），
∵ DE∥A′B′，
∴，
由旋转性质可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE，
∴，
∴△CAD∽△CBE，
∴∠A =∠CBE=30°，
∵ 点D在AB边上，∠CBD=60°，
∴，
即m=2；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，，
由△CAD∽△CBE 得，
∵AD=x，
∴，
当点D在AB边上时，AD=x，，∠DBE=90°，
此时，，
当S=时，，
整理，得，
解得，即AD=1，
此时D为AB中点，故∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE，
∴EC=EB，
∵，
点E在CB′边上，
∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB，
∴直线A′C与⊙E相切。