如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB。（1）求证：DB为⊙O的切线；（2）若AD=1

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB。

（1）求证：DB为⊙O的切线；
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长。

答案

解：（1）证明：连结OD，
∵PA为⊙O切线，
∴∠OAD=90°，
∵OA=OB，DA=DB，DO=DO，
∴ΔOAD≌ΔOBD，
∴∠OBD=∠OAD=90°，
∴PA为⊙O的切线；
（2）在RtΔOAP中，
∵PB=OB=OA，
∴∠OPA=30°，
∴∠POA=60°=2∠C，
∴PD=2BD=2DA=2，
∴∠OPA=∠C=30°，
∴AC=AP=3。