已知:如图1,∠ACG=90°,AC=2,点B为CG边上的一个动点,连接AB,将△ACB沿AB边所在的直线翻折得△ADB,过点D作DF⊥CG 于点F。 图1  

已知:如图1,∠ACG=90°,AC=2,点B为CG边上的一个动点,连接AB,将△ACB沿AB边所在的直线翻折得△ADB,过点D作DF⊥CG 于点F。 图1  

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已知:如图1,∠ACG=90°,AC=2,点B为CG边上的一个动点,连接AB,将△ACB沿AB边所在的直线翻折得△ADB,过点D作DF⊥CG 于点F。
图1                             图2
(1)当BC=时,判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系,并加以证明;
(2)如图2,点B在CG上向点C运动,直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点,连接AD、AH,当∠CAB=∠BAD=∠DAH时,求BC的长。
答案
解:(1)判断:直线FD与以AB为直径的⊙O相切,
证明:如图①,作以AB为直径的⊙O,
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的,
∴△ADB≌△ACB,
∴∠ADB=∠ACB=90°,
∵O为AB的中点,连接DO,
∴OD=OB=
∴点D在⊙O上,
在Rt△ACB中,BC=,AC=2,
∴tan∠CAB=
∴∠CAB=∠BAD=30°,
∴∠ABC=∠ABD=60°,
∴△BOD是等边三角形,
∴∠BOD=60°,
∴∠ABC=∠BOD,
∴FC//DO,
∵DF⊥ CG,
∴∠ODF=∠BFD=90°,
∴OD⊥FD,
∴FD为⊙O的切线;
(2)如图②,延长AD交CG于点E 同(1)中的方法,可证点C在⊙O上,
∴四边形ADBC是圆内接四边形,
∴∠FBD=∠1+∠2,
同理∠FDB=∠2+∠3,
∵∠1= ∠2=∠3,
∴∠FBD=∠FDB,
又∠DFB=90°,
∴∠FBD=∠CAD=45°,
∵∠ACE=90°,
∴EC=AC=2,
设BC=x,可知BD=BC=x,
又∠EDB=90°,
∴EB=
∵EB+BC=EC,
+x=2,
解得x=2-2,
 ∴BC=2-2。
举一反三
已知圆的直径为12cm,若一条直线和圆心的距离为6cm,则这条直线与圆的位置关系是[     ]
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断
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如图所示,⊙O的弦EF⊥HG于K,分别过E、G、F、H作⊙O的切线,交于A、B、C、D,以下结论:①∠A+∠C=180°;②AB+CD=AD+BC;③EK·FK=HK·GK;④AH·CG=DE·BF,其中正确的结论序号是
[     ]
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
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如图所示,△ABC中AC=BC,D为边AB上一点,且∠BCD=3∠ACD,O为AC上一点,以O为圆心的⊙O恰好经过C、D两点。
(1)求证:直线AB为⊙O的切线;
(2)若BD=4,AD=2,求⊙O半径。
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已知:如图所示,以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D,且过点D的切线DE平分边BC。
(1)BC与⊙O是否相切?请说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,以点O,B,E,D为顶点的四边形是平行四边形?并说明理由。
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如图1,已知AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,垂足为M,弦AE与CD交于F,则有结论AD2=AE·AF成立(不要求证明)。
(1)若将弦CD向下平移至与⊙O相切于B 点时,如图2,则AE·AF是否等于AG2?如果不相等,请探求AE·AF等于哪两条线段的积?并给出说明;
(2)当CD继续向下平移至与⊙O相离时,如图3,在(1)中探求的结论是否还成立?并说明理由。
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