如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点。（1）求证：

题型：安徽省中考真题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点。
（1）求证：AE⊥DE；
（2）计算AC·AF的值。

答案

解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，D为BC的中点，
∴∠ABD=60°，AD=BD=DC，
∴△ABD为等边三角形，
∴O点为△ABD的中心（内心，外心，垂心三心合一），
∴连接OA，OB，∠BAO=∠OAD=30°，
∴∠OAC=60°，
又∵AE为⊙O的切线，
∴OA⊥AE，∠OAE=90°，
∴∠EAF=30°，
∴AE∥BC，
又四边形ABDF内接于⊙，
∴∠FDC=∠BAC=90°，
∴∠AEF=∠FDC=90°，
即AE⊥DE； （2）由（1）知，△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠ADF=∠C=30°，∠FAD=∠DAC，
∴△ADF∽△ACD，
则　　
∴AD²=AC·AF，
又 　
∴AC·AF=36。