如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(8,0),以AB为直径的半圆P与y轴交于点M,以AB为一边作正方形ABCD。(1)求C,M两

如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(8,0),以AB为直径的半圆P与y轴交于点M,以AB为一边作正方形ABCD。(1)求C,M两

题型:河北省模拟题难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(8,0),以AB为直径的半圆P与y轴交于点M,以AB为一边作正方形ABCD。
(1)求C,M两点的坐标;
(2)试判断直线CM与半圆P的位置关系,并证明你的结论。
(3)在x轴上是否存在一点Q,使得△QMC的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)联结PM,因A、B、M均在半圆P上,且AB=10,
∴PM=PA=PB=5,
∴OP=OB-PB=3,
在Rt△POM中,由勾股定理得:OM=
M的坐标为(0,4),
∵正方形ABCD,
∴矩形OBCE,AB=CB=10,
∴CE=OB=8,
∴C的坐标为(8,10);
(2)直线CM是半圆P的切线;
联结CM,CP,
由(1)可知,BM=OB-OM=10-4=6,
在Rt△CEM中,CM=
∵BC=10,
∴BC=CM,
∵BP=PM,CP=CP,
∴△CMP≌△CBP,
∴∠CMP=∠CBP=90°,
∴直线CM是半圆P的切线;
(3)存在;
作M关于x轴的对称点M1(0,-4),
联结M1C,与x轴交于点Q,Q为所求,
可求得M1C的解析式为:
当y=0时,x=
∴点Q的坐标为(,0)。
举一反三
为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法:将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径,若测得PA=5cm,则铁环的半径是(    )cm。
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一个钢管放在V形架内,下图是其截面图,O为钢管的圆心,如果钢管的半径为25xm,∠MPN=60°,则OP的长为
[     ]
A.50cm
B.25cm
C.cm
D.50cm
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如图,在平面直角坐标系中,直线L:y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P。
(1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)当K为何值时,以⊙P与直线L的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?
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如图,直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A、B两点,PC切半圆于点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为(    )。
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如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,⊙O2经过⊙O1的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M,交AB于点N,连结BM,已知AB=2
(1)求证:BM是⊙O2的切线;
(2)求的长。
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