如图，在平面直角坐标系中，直线L：y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P。（1）连

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，直线L：y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P。
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当K为何值时，以⊙P与直线L的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

答案

解：（1）由直线L的解析式可知A（-4，0），B（0，-8）
∴OA=4，OB=8
设OP=-x，则∴PB=PA=8+k．
由勾股定理得x²+4²=（8+x）²
解得x=-3 
∴⊙P与x轴相切 （2）设⊙P₁与直线l交于C，D两点，
连接P₁C，P₁D，
当圆心P₁在线段OB上时，作P₁E⊥CD于E，
∵△P₁CD为正三角形，
∴DE= CD=，P₁D=3．
∴P₁E= ．
∵∠AOB=∠P₁EB=90°，∠ABO=∠P₁BE，
∴△AOB∽△P₁EB．
∴ ，
∴
∴．
∴P₁（0， ）．
∴k= ．
当圆心P₂在线段OB延长线上时，同理可得P₂（0，）．
∴
∴当k= 或k=时，
以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．