如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于点D，在AC延长线上有一点E，满足AD2=AB·AE。求证：DE是⊙O的切线。

题型：期末题难度：来源：

如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于点D，在AC延长线上有一点E，满足AD²=AB·AE。求证：DE是⊙O的切线。

答案

证明：如图所示，连接OD，
∵P为△ABC的内心，
∴∠BAD=∠DAE
又∵AD²=AB·AE，
∴
∴△ABD∽△ADE
∴∠ADB=∠E
又∵
∴∠ACB=∠ADB=∠E，
∴BC∥DE
又∵，则OD⊥BC，
∴OD⊥DE
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线。