如图所示，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径，大圆的弦AB、BE分别与小圆相切于点C、 F，AD、BE相交于点G，连结BD

题型：专项题难度：来源：

如图所示，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径，大圆的弦AB、BE分别与小圆相切于点C、 F，AD、BE相交于点G，连结BD。
（1）求BD的长；
（2）求∠ABE+2∠D的度数；
（3）求的值。

答案

解：（1）如图，连结OC，
∵AB是小圆的切线，C是切点，
∴OC⊥AB，
∴C是AB的中点，
∵AD是大圆的直径，
∴O是AD的中点，
∴OC是△ABD的中位线，
∴BD=2OC=10；
（2）如图，连结AE，由（1）知C是AB 的中点，同理F是BE的中点，由切线长定理得BC=BF，
∴BA=BE，
∴∠BAE-∠E，
∵∠E=∠D，
∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180°；
（3）如图，连结BO，
在Rt△OCB中，
∵OB=13，OC=5，
∴BC=12
由（2）知∠0BG=∠OBC=∠OAC，
∵∠BGO=∠AGB，
∴△BGO∽△AGB，
∵==。