已知：如图，在⊙O中，点A、B在圆上，BC∥OA，交⊙O于点D，且OC⊥OB，∠OCA=∠B。（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=1，求BD的长

题型：北京期末题难度：来源：

已知：如图，在⊙O中，点A、B在圆上，BC∥OA，交⊙O于点D，且OC⊥OB，∠OCA=∠B。
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=1，求BD的长

答案

解：（1）∵BC∥OA
∴∠AOC=∠OCB
又∵∠OCA=∠B
∴∽
∴∠CAO=∠BOC
∵OC⊥OB
∴∠BOC=90°
∴∠CAO=90°
又∵OA是半径
∴AC是⊙O的切线；
证法二：∵OC⊥OB
∴∠OCB+∠B =90°
∵BC∥OA
∴∠AOC=∠OCB
又∵∠OCA=∠B
∴∠AOC+∠OCA =90°
∴∠CAO=90°
又∵OA是半径
∴AC是⊙O的切线。
（2）过点O作OE⊥BC于点E

可得，四边形ACEO是矩形，DE=BE
∴CE=OA=OB=1
设BE=x，则BC = CE+BE= 1+ x
∵∠BOC=∠BEO =90°，∠B=∠B

∴
即
∴
解得（舍负）
∴
∴。