已知，如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，D是弧BC上的点，且有弧AC=弧CD，连CD、BD，在BD延长线上取一点E，使∠DCE=∠ CBD（1）求证：

题型：湖北省期中题难度：来源：

已知，如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，D是弧BC上的点，且有弧AC=弧CD，连CD、BD，在BD延长线上取一点E，使∠DCE=∠ CBD
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD=2，DE和CE的长度的比为，求⊙O半径。

答案

（1）证明：连接OC
∵
∴∠ABC=∠DBC=∠OCB
∴OC∥BE
∴∠OCE+∠E=180°
∵∠CDE+∠BDC=∠CAB+∠BDC=180°
∴∠EDC=∠CAB 而
∠DCE=∠CBD=∠ABC，∠CAB+∠ABC=90°
∴∠DCE+∠EDC=90°
∴∠E=90°
∴∠OCE=90°
∴CE是⊙O的切线
（2）解： 连接AD交OC于点F
∵
∴OC⊥AD
∴∠CFD=90°
在Rt△CFD中， 设DE=x，则CE=2x ，而 CD=
根据勾股定理得：
解得：x=4 
∴DE=2 CE=4
∵ ∠E=∠OCD=∠ADE=90°
∴ ∠CFD=90° 四边形CEDF是矩形
∴ AF=DF=CE=4 ， CF=DE=2 
设 OA=r 根据勾股定理得
∴ 
答：所求的半径为5