已知:如图,以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、 E,过点D作DF⊥BC,垂足为F。(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若等边三角

已知:如图,以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、 E,过点D作DF⊥BC,垂足为F。(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若等边三角

题型:北京期末题难度:来源:
已知:如图,以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、 E,过点D作DF⊥BC,垂足为F。
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若等边三角形ABC的边长为4,求DF的长;
(3)求图中阴影部分的面积。
答案
解:(1)证明:连接DO
                 ∵△ABC是等边三角形,
                  ∴∠A=∠C=60
                     
∵OA=OD,∴△OAD是等边三角形
                  ∴∠ADO=60 ∵DF⊥BC,
                   ∴∠CDF=90-∠C=30。  
                       
∴∠FDO=180-∠ADO-∠CDF=90
                       
 ∴DF为⊙O的切线
(2)∵△OAD是等边三角形,
         ∴AD=AO=AB=2.∴CD=AC-AD=2
          Rt△CDF中,∵∠CDF=30, ∴CF=CD= 1
         ∴DF=
(3)连接OE,由(2)同理可知CE=2
        ∴CF=1,∴EF=1
       ∴
      ∴
       ∴
举一反三
如图,AC是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,点B是⊙O上的一点,且∠BAC=30,∠APB=60
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求弦AB及PA,PB的长。
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在直角坐标系中,以点A(0,3)为圆心,以3为半径作⊙A,则直线y=kx+2(k≠0)与⊙A 的位置关系[     ]
A.相切
B.相交
C.相离
D.与k值有关
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⊙O的半径为5,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置(     )。
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一个钢管放在V形架内,如图所示其截面图,O为钢管的圆心,如果钢管的半径为10cm,∠MPN=60,则OP=(     )cm。
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如图,点C在半圆O的半径OB上,作PC⊥AB于C。点D是半圆上位于PC左侧的点,连结BD交线段PC于E,且PD=PE。求证:PD是圆O的切线。
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