已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、 E，过点D作DF⊥BC，垂足为F。（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角

题型：北京期末题难度：来源：

已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、 E，过点D作DF⊥BC，垂足为F。
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积。

答案

解：（1）证明：连接DO
                 ∵△ABC是等边三角形，
                  ∴∠A=∠C=60^。
                      ∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形
                  ∴∠ADO=60^。  ∵DF⊥BC，
                   ∴∠CDF=90^。-∠C=30^。  
                        ∴∠FDO=180^。-∠ADO-∠CDF=90^。
                         ∴DF为⊙O的切线
（2）∵△OAD是等边三角形，
         ∴AD=AO=AB=2．∴CD=AC-AD=2
          Rt△CDF中，∵∠CDF=30^。， ∴CF=CD= 1
         ∴DF=
（3）连接OE，由（2）同理可知CE=2
        ∴CF=1，∴EF=1
       ∴
      ∴
       ∴