△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点。（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AE=14，BC=12，求BF的长。

题型：专项题难度：来源：

△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点。
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AE=14，BC=12，求BF的长。

答案

解：（1）证明：连接OD，AD． AC是直径   ∴AD⊥BC　
在△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C，∠BAD=∠DAC　　
又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角
∴∠C=∠BED。故∠B=∠BED，即DE=DB
∴ 点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径，即∠DAC=∠BAD=∠ODA
∴OD⊥DF ，DF是⊙O的切线
（2）设BF=x，BE=2BF=2x．又BD=CD=BC=6
根据BE·AB=BD·BC得：
化简，得 解得（不合题意，舍去）
则BF的长为2。