证明:如图,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F ∴CE∥DF,∠AEC=90°,∠BFD=90°. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. 又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角, ∴△ACB∽△AEC, ∴AC:AB=AE:AC 即PA2=AC2=AE•AB, 同理PB2=BD2=BF•AB. 两式相减可得PA2-PB2=AB(AE-BF), ∴PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB), ∴AE-BF=PA-PB,即PA-AE=PB-BF, ∴PE=PF, ∴点P是线段EF的中点. ∵M是CD的中点, ∴MP是直角梯形CDEF的中位线, ∴MP⊥AB, ∴MP分别与⊙A和⊙B相切.
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