如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形,其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处.(1)求图1中,重叠部分面积与阴影部分面积之比;(2)求图2中

如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形,其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处.(1)求图1中,重叠部分面积与阴影部分面积之比;(2)求图2中

题型:不详难度:来源:
如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形,其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处.
(1)求图1中,重叠部分面积与阴影部分面积之比;
(2)求图2中,重叠部分面积与阴影部分面积之比(直接出答案);
(3)根据前面探索和图3,你能否将本题推广到一般的正n边形情况,(n为大于2的偶数)若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由.
答案
(1)方法一:
连接OA,OB,过点O作OM⊥AB,垂足为M.
∵点O是正方形ABCD外接圆圆心,
∴OA=OB.
∵正方形ABCD,
∴OM=
1
2
AB,
∴S△ABO=
1
4
S正方形ABCD.(1分)
∵∠AOB=90°,
∴∠OAF=∠OBE=45度.(2分)
又∵∠A"OC"=90°,∠AOF+∠A"OB=∠A"OB+∠BOE=90°,
∴∠AOF=∠BOE.
∴△AOF≌△BOE.(3分)
∴S△AOF=S△BOE
∴重叠部分面积=S△BOF+S△BOE=S△BOF+S△AOF=S△ABO=
1
4
S正方形ABCD
∴S阴影=
3
4
S正方形ABCD
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1:3.(4分)
方法二:过正方形ABCD的外接圆圆心O分别作OM⊥AB,ON⊥BC,垂足分别为M,N.
∵正方形ABCD,
∴AB=BC,∴OM=ON=
1
2
AB.(1分)
∵∠ABC=90°,
∴四边形MBNO为矩形.
∵OM=ON,
∴四边形MBNO为正方形.
∴S正方形MBNO=
1
4
S正方形ABCD.(2分)
∵∠FOE=90°,
∴∠FOM+∠MOE=∠MOE+∠EON=90度.
∴∠FOM=∠EON.
∴△FOM≌△EON.(3分)
∴S△FOM=S△EON
∴重叠部分面积=S△FOM+S四边形MBEO=S四边形MBEO+S△EON=S正方形MBNO=
1
4
S正方形ABCD
∴S阴影=
3
4
S正方形ABCD
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1:3.(4分)

(2)1:2;(5分)

(3)n边形的每一个内角度数=
(n-2)180
n
,阴影部分对应的中心角=360°-
(n-2)180
n
=
(n+2)180
n

两个相同正n边形重叠部分面积与阴影部分面积之比=
(n-2)180
n
(n+2)180
n
=(n-2):(n+2).
但当边数超过六以后,正多边形的边长小于半径,因而结论不适合推广.(7分)
举一反三
正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是(  )
A.互余B.互补C.互余或互补D.不能确定
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已知正六边形的边心距为


3
,则它的周长是(  )
A.6B.12C.6


3
D.12


3
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以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则(  )
A.不能构成三角形
B.这个三角形是等腰三角形
C.这个三角形是直角三角形
D.这个三角形是钝角三角形
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正三角形外接圆的面积是它内切圆面积的______倍.
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如图,已知正方形的边长是4cm,求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.(答案保留π)
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