如图所示,在⊙O中,AD=AC,弦AB与弦AC交于点A,弦CD与AB交于点F,连接BC.(1)求证:AC2=AB•AF;(2)若⊙O的半径长为2cm,∠B=60

如图所示,在⊙O中,AD=AC,弦AB与弦AC交于点A,弦CD与AB交于点F,连接BC.(1)求证:AC2=AB•AF;(2)若⊙O的半径长为2cm,∠B=60

题型:不详难度:来源:
如图所示,在⊙O中,
AD
=
AC
,弦AB与弦AC交于点A,弦CD与AB交于点F,连接BC.
(1)求证:AC2=AB•AF;
(2)若⊙O的半径长为2cm,∠B=60°,求图中阴影部分面积.
答案
(1)证明:∵
AD
=
AC

∴∠ACD=∠ABC,又∠BAC=∠CAF,
∴△ACF△ABC,
AC
AB
=
AF
AC
,即AC2=AB•AF;

(2)连接OA,OC,过O作OE⊥AC,垂足为点E,
如图所示:
∵∠ABC=60°,∴∠AOC=120°,
又∵OA=OC,∴∠AOE=∠COE=
1
2
×120°=60°,
在Rt△AOE中,OA=2cm,
∴OE=OAcos60°=1cm,
∴AE=


OA2-OE2
=


3
cm,
∴AC=2AE=2


3
cm,
则S阴影=S扇形OAC-S△AOC=
120π•22
360
-
1
2
×2


3
×1=(
3
-


3
)cm2
举一反三
如图,P为⊙O外一点,PA切⊙O于A,AB是⊙O的直径,PB交⊙O于C,PA=2cm,PC=1cm,则图中阴影部分的面积S是(  )
A.
5


3
2
cm2
B.
5


3
4
cm2
C.
5


3
-2π
4
cm2
D.
2


3
2
cm2

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当汽车在雨天行驶时,为了看清楚道路,司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器.如图是某汽车的一个雨刷器的示意图,雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动),当杆AB绕A点转动90°时,雨刷CD扫过的面积是多少呢?小明仔细观察了雨刷器的转动情况,量得CD=80cm、∠DBA=20°,端点C、D与点A的距离分别为115cm、35cm.他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果,你知道小明是怎样计算的吗?也请你算一算雨刷CD扫过的面积为______cm2(π取3.14).
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如图所示,分别以n边形的顶点为圆心,以单位1为半径画圆,则图中阴影部分的面积之和为______个平方单位.
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如图,扇形的圆心角∠AOB=135°,C为扇形的弧上一点,∠BOC=45°,设扇形BOC、△AOC、弓形AmC的面积分别为S1、S2、S3,则它们之间的大小关系是______.(用“<”表示)
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如图,AB是⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,过B点作BCOD交⊙O于点C,连接OC、AC,AC交OD于点E.
(1)求证:△COE△ABC;
(2)若AB=2,AD=


3
,求图中阴影部分的面积.
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