如图,设B′D与AC相交于O, ∵CD是AB边的中线, ∴S△ACD=S△BCD=S△ABC, ∵重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的, ∴点O是AC、B′D的中点, ∴四边形ADCB′是平行四边形, ∴AB′∥CD,B′C∥AD,B′C=AD,故③正确; ∴B′C∥BD,B′C=BD, ∴四边形BCB′D是平行四边形, 由翻折变换的性质得,BC=B′C, ∴平行四边形BCB′D是菱形, ∴BC=BD=AB=×2a=a,故①正确; 假设折叠前的△ABC的面积可以等于a2, 设点C到AB的距离为h, 则×2ah=a2, 解得h=a, a÷tan30°=a÷=a, ∴垂足为AB的中点D, ∴翻折后点A、B重合,不符合题意, ∴假设不成立,故②错误. 综上所述,正确的结论有①③. 故答案为:①③. |