（1）画图探究：如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上求作一点P，使AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法；（2）实践运用：如图2，在等边△ABC中，A

题型：不详难度：来源：

（1）画图探究：
如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上求作一点P，使AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
（2）实践运用：
如图2，在等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，点P是高AD上一个动点，求BP+PE的最小值
（3）拓展延伸：
如图3，四边形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠MAN的度数．

答案

（1）如图1所示：P点即为所求；

（2）如图2，连接EC，交AD于点P，
此时BP+PE最小，
∵等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴BE=1，BC=2，
∴EC=

3

，
∴BP+PE的最小值为：

3

；

（3）如图3：
分别作出点A关于CD，BC的对称点E，F，连接EF分别交CD、BC于点M、N此时△AMN周长最小；
∵∠BAD=125°，∴∠E+∠F=55°，∴∠DAM+∠EAB=∠E+∠F=55°，
∴∠MAN=125°-55°=70°．