已知:矩形ABCD中,AB=6,AD=8,将矩形顶点B沿GF折叠,使B落在AD上(不与A、D重合)的E处,点G、F分别在AB、BC上.(1)不论点E在何处,试判

已知:矩形ABCD中,AB=6,AD=8,将矩形顶点B沿GF折叠,使B落在AD上(不与A、D重合)的E处,点G、F分别在AB、BC上.(1)不论点E在何处,试判

题型:不详难度:来源:
已知:矩形ABCD中,AB=6,AD=8,将矩形顶点B沿GF折叠,使B落在AD上(不与A、D重合)的E处,点G、F分别在AB、BC上.
(1)不论点E在何处,试判断△BFE的形状;
(2)若AG:GB=1:2时,求证:EG平分∠AEB;
(3)若
AG
GB
=
1
4
,试求BF的长.
答案
(1)证明:∵矩形顶点B沿GF折叠B落在AD上(不与A、D重合)的E处,
∴BF=EF,
∴△BEF是等腰三角形;

(2)证明:∵AG:GB=1:2,AB=6,
∴AG=6×
1
1+2
=2,GB=6×
2
1+2
=4,
由翻折性质,EG=BG=4,
在Rt△AGE中,AE=


EG2-AG2
=


42-22
=2


3

AG
AE
=
2
2


3
=


3
3

AE
AB
=
2


3
6
=


3
3

AG
AE
=
AE
AB

又∵∠A=∠A,
∴△ABE△AEG,
∴∠AEG=∠ABE,
由EG=BF得,∠ABE=∠BEG,
∴∠AEG=∠BEG,
∴EG平分∠AEB;

(3)∵
AG
GB
=
1
4
,AB=6,
∴AG=6×
1
1+4
=
6
5
,BG=6×
4
1+4
=
24
5

由翻折性质,EG=BG=
24
5

在Rt△AGE中,AE=


EG2-AG2
=


(
24
5
)
2
-(
6
5
)
2
=
6


15
5

由翻折的性质,∠EBF+∠BFG=90°,
∵∠ABE+∠EBF=∠ABC=90°,
∴∠ABE=∠BFG,
又∵∠A=∠ABF=90°,
∴△ABE△BFG,
AE
BG
=
AB
BF

6


15
5
24
5
=
6
BF

解得BF=
8


15
5
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3)
(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1,并写出点A1,B1、C1坐标;
(2)将△ABC向右平移6个单位得△A2B2C2,画出△A2B2C2
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2重叠部分的面积.
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如图,在△ABC中,∠C=50°,按图中虚线将∠C剪去后,∠1+∠2等于______°.
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如图,网格中的每个小正方形的边长为1,如果把阴影部分剪拼成一个正方形,那么这个新正方形的边长是(  )
A.


6
B.


7
C.


8
D.3

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如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=2


3
,点P是边BC上的动点(点P不与点B,C重合),过点P作直线PQBD,交CD边于Q点,再把△PQC沿着动直线PQ对折,点C的对应点是R点.设CP=x,△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y.
(1)求∠CPQ的度数.
(2)当x取何值时,点R落在矩形ABCD的边AB上?
(3)当点R在矩形ABCD外部时,求y与x的函数关系式.并求此时函数值y的取值范围.
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下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.菱形、正方形、平行四边形
B.矩形、等腰三角形、圆
C.矩形、正方形、等腰梯形
D.菱形、正方形、圆
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