如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=23,点P是边BC上的动点(点P不与点B,C重合),过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点,再把△PQC沿着动直线P

如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=23,点P是边BC上的动点(点P不与点B,C重合),过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点,再把△PQC沿着动直线P

题型:不详难度:来源:
如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=2


3
,点P是边BC上的动点(点P不与点B,C重合),过点P作直线PQBD,交CD边于Q点,再把△PQC沿着动直线PQ对折,点C的对应点是R点.设CP=x,△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y.
(1)求∠CPQ的度数.
(2)当x取何值时,点R落在矩形ABCD的边AB上?
(3)当点R在矩形ABCD外部时,求y与x的函数关系式.并求此时函数值y的取值范围.
答案
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC;
又AB=6,AD=2


3
,∠C=90°,
∴CD=6,BC=2


3

∴tan∠CDB=
BC
CD
=


3
3

∴∠CDB=30°,∠CBD=60°;
∵PQBD,
∴∠CPQ=∠CBD=60°;

(2)如图,由轴对称的性质知:△RPQ≌△CPQ,
∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP;
由(1)知:∠CPQ=60°,
∴∠RPQ=∠CPQ=60°;
∴∠RPB=60°,
∴RP=2BP;
令CP=x,
∴RP=x,PB=2


3
-x;
在△RPB中,根据题意,得:2(2


3
-x)=x,解得x=
4


3
3


(3)当R在矩形ABCD的外部时,
4
3


3
<x<2


3

在Rt△PFB中,∵∠RPB=60°,
∴PF=2BP=2(2


3
-x);
又∵RP=CP=x,
∴RF=RP-PF=3x-4


3

在Rt△ERF中,∵∠EFR=∠PFB=30°,
∴ER=


3
x-4;
∴S△ERF=
1
2
ER×FR=
3


3
2
x2-12x+8


3

∴y=S△RPQ-S△ERF
∴当
4
3


3
<x<2


3
时,y=-


3
x2+12x-8


3

8


3
3
<y<4


3
举一反三
下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.菱形、正方形、平行四边形
B.矩形、等腰三角形、圆
C.矩形、正方形、等腰梯形
D.菱形、正方形、圆
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如图,把矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的B′处,点A落在A′处.若AE=a、AB=b、BF=c,请写出a、b、c之间的一个等量关系.
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如图:四边形ABCD是一张矩形纸片,AD=2AB,若沿过点D的折痕DE将A角翻折,使A落在BC上的A1处,则∠EA1B的度数为(  )
A.45°B.60°C.75°D.50°

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如图,已知正方形纸片ABCD的边长为2,将正方形纸片折叠,使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合),折痕为EF,折叠后AB边落在PQ的位置,PQ与BC交于点G.
(1)观察操作结果,找到一个与△EDP相似的三角形,并证明你的结论;
(2)当点P位于CD中点时,你找到的三角形与△EDP周长的比是多少?
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如图所示,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC边翻折180°形成的,若∠1:∠2:∠3=28:5:3,则∠α的度数为(  )
A.80°B.100°C.60°D.45°

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