（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B"，连接AB"，与直线l的交点

题型：不详难度：来源：

（1）观察发现：
如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
做法如下：作点B关于直线l的对称点B"，连接AB"，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为______．
（2）实践运用：
如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是

AD

的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（3）拓展延伸：
如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

答案

（1）BP+PE的最小值=

BC2-BE2

=

22-12

=

3

．

（2）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．
∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，
∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，
∵点B是

AD

的中点，
∴∠BOD=30°，
∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，
∵⊙O的直径CD为4，
∴OA=OA′=2，
∴A′B=2

2

．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2

2

．

（3）如图d：首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，
连接DB′并延长交AC于P．
（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD）．