(1)方法一:如图(1-1),连接BM,EM,BE. 由题设,得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称. ∴MN垂直平分BE, ∴BM=EM,BN=EN. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠D=∠C=90°,设AB=BC=CD=DA=2. ∵=, ∴CE=DE=1. 设BN=x,则NE=x,NC=2-x. 在Rt△CNE中,NE2=CN2+CE2. ∴x2=(2-x)2+12, 解得x=,即BN=. 在Rt△ABM和在Rt△DEM中,AM2+AB2=BM2,DM2+DE2=EM2, ∴AM2+AB2=DM2+DE2. 设AM=y,则DM=2-y, ∴y2+22=(2-y)2+12, 解得y=,即AM=(6分) ∴=. 方法二:同方法一,BN=. 如图(1-2),过点N做NG∥CD,交AD于点G,连接BE. ∵AD∥BC, ∴四边形GDCN是平行四边形. ∴NG=CD=BC. 同理,四边形ABNG也是平行四边形. ∴AG=BN= ∵MN⊥BE,∴∠EBC+∠BNM=90度. ∵NG⊥BC,∴∠MNG+∠BNM=90°, ∴∠EBC=∠MNG. 在△BCE与△NGM中
| ∠EBC=∠MNG | BC=NG | ∠C=∠NGM=90° |
| | , ∴△BCE≌△NGM,EC=MG. ∵AM=AG-MG,AM=-1=. ∴=.
(2)如图1,当四边形ABCD为正方形时,连接BE,=, 不妨令CD=CB=n,则CE=1,设BN=x,则EN=x,EN2=NC2+CE2,x2=(n-x)2+12,x=; 作MH⊥BC于H,则MH=BC, 又点B,E关于MN对称,则MN⊥BE,∠EBC+∠BNM=90°;而∠NMH+∠BNM=90°,故∠EBC=∠NMH,则△EBC≌△NMH, ∴NH=EC=1,AM=BH=BN-NH=-1= 则:==. 故当=,则的值等于;若=,则的值等于;
(3)若四边形ABCD为矩形,连接BE,=,不妨令CD=n,则CE=1; 又==,则BC=mn,同样的方法可求得: BN=, BE⊥MN,易证得:△MHN∽△BCE.故=,=, HN=,故AM=BH=BN-HN=, 故==.
故答案为:;;;.
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