如图1,已知正方形ABCD,将一个45度角的顶点放在D点并绕D点旋转,角的两边分别交AB边和BC边于点E和F,连接EF。求证:EF=AE+CF(1) 小明是这样
题型:不详难度:来源:
如图1,已知正方形ABCD,将一个45度角的顶点放在D点并绕D点旋转,角的两边分别交AB边和BC边于点E和F,连接EF。求证:EF=AE+CF (1) 小明是这样思考的:延长BC到G,使得CG=AE,连接DG,先证△DAE≌△DCG,再证△DEF≌△DGF,请你借助图2,按照小明的思路,写出完整的证明思路。 (2)刘老师看到这条题目后,问了小明两个小问题:①如果正方形的边长和△BEF的面积都等于6,求EF的长;②将角绕D点继续旋转,使得角的两边分别和AB边延长线、BC边的延长线交于E和F,如图3所示,猜想EF、AE、CF三线段之间的数量关系并给予证明。请你帮忙解决。 |
答案
证明见解析 |
解析
(1)略(2)①设EF=x 由(1)知四边形DEBG的面积=正方形ABCD 的面积=36,又△三角形BEF的面积是6,所以四边形DEFG的面积为30,因为△DAE≌△DCG,EF=FG=x ,所以三角形DFG的面积为15,所以1/2×6x =15 解得x=5,所以EF=5 ②如图3,延长CF到点G,使得CG=AE,连接DG,易证△DAE≌△DCG 所以∠CDG=∠ADE,∵∠ADE+∠CDE=90度 , ∴∠CDG+∠CDE=90度,∵∠EDF=45度,∴∠GDF=45度,易证△DFE≌△DFG, ∴FE=FG , ∴CG-CF=FG=EF ∴EF=AE-CF (1)延长BC到G,使得CG=AE,连接DG,根据正方形的性质推出AD=DC,∠A=∠DCG,证△DAE≌△DCG,推出DE=DG,∠EDF=∠FDG=45°,证△DEF≌△DGF推出EF=FG即可; (2)①设EF=x,由(1)知得出四边形DEBG的面积=正方形ABCD的面积=36,求出△DFG的面积为15,根据三角形的面积公式求出即可;②延长CF到点G,使得CG=AE,连接DG,与(1)类似求出△DAE≌△DCG,再证△DFE≌△DFG,推出EF=FG即可. |
举一反三
室内墙壁上挂一平面镜,小明站在平面镜前看到他背后墙上时钟的示数在镜中如图所示,则这时的实际时间应是 ( )
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