阅读下面材料,并解决问题:(1)如下图1,等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5则∠APB=______,由于PA,PB不在一个三角
题型:不详难度:来源:
阅读下面材料,并解决问题: (1)如下图1,等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5则∠APB=______,由于PA,PB不在一个三角形中,为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌_______这样,就可以利用全等三角形知识,将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数. (2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:已知:如图2,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2. |
答案
(1)将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处, ∴△BAP≌△CAP′, ∴AB=AC,AP=AP′,∠BAP=∠CAP′, ∴∠BAC=PAP′=60°, ∴△APP′是等边三角形, ∴∠APP′=60°, 因为B P P′不一定在一条直线上 连接PC, ∴P′C=PB=4,PP′=PA=3,PC=5, ∴∠PP′C=90°, ∴△PP′C是直角三角形, ∴∠APB=∠AP′C=150°, ∴∠BPA=150°; 故答案是:150°,△ABP; (2)把△ACF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG.连接EG. 则△ACF≌△ABG. ∴AG=AF,BG=CF,∠ABG=∠ACF=45°. ∵∠BAC=90°,∠GAF=90°. ∴∠GAE=∠EAF=45°, 又∵AG=AF,AE=AE. ∴△AEG≌△AFE. ∴EF=EG, 又∵∠GBE=90°, ∴BE2+BG2=EG2, 即BE2+CF2=EF2.
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解析
(1)此类题要充分运用旋转的性质,以及全等三角形的性质得对应角相等,对应边相等,得出∠PAP′=60°,再利用等边三角形的判定得出△APP′为等边三角形,即可得出∠APP′的度数,即可得出答案; (2)利用已知首先得出△AEG≌△AFE,即可把EF,BE,FC放到一个直角三角形中,从而根据勾股定理即可证明. |
举一反三
如图,在Rt△ABC中,OA=2,AB=1,把Rt△ABO绕着原点逆时针旋转90°,得△A'B'O,那么点A'的坐标为 ( )
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如图,三角板中,,,BC=2.三角板绕直角顶点逆时针旋转,当点的对应点落在边上时即停止转动,则点转过的路径长为 . |
8.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛,从学生中征集到设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案,你认为符合条件的是( ). |
下列图形中,是轴对称图形的有 ( )
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