在中,,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。(1) 若且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请

在中,,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。(1) 若且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请

题型:不详难度:来源:
中,,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,
将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。
(1) 若且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,
并写出∠CDB的度数;

(2) 在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想∠CDB的大
小(用含的代数式表示),并加以证明;
(3) 对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得
线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出的范围。
答案
解:(1)补全图形如下:

∠CDB=30°。
(2)作线段CQ的延长线交射线BM于点D,连接PC,AD,

∵AB=BC,M是AC的中点,∴BM⊥AC。
∴AD=CD,AP=PC,PD=PD。
在△APD与△CPD中,∵AD=CD, PD=PD, PA=PC
∴△APD≌△CPD(SSS)。
∴AP=PC,∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD。
又∵PQ=PA,∴PQ=PC,∠ADC=2∠CDB,∠PQC=∠PCD=∠PAD。
∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°。
∴∠APQ+∠ADC=360°-(∠PAD+∠PQD)=180°。
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α,即2∠CDB=180°-2α。
∴∠CDB=90°-α。
(3)45°<α<60°。
解析
旋转的性质,等边三角形的判定和性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,。
(1)利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形,即可得出答案:
∵BA=BC,∠BAC=60°,M是AC的中点,∴BM⊥AC,AM=AC。
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ,∴AM=MQ,∠AMQ=120°。
∴CM=MQ,∠CMQ=60°。∴△CMQ是等边三角形。
∴∠ACQ=60°。∴∠CDB=30°。
(2)首先由已知得出△APD≌△CPD,从而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°,即可求出。
(3)由(2)得出∠CDB=90°-α,且PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α。
∵点P不与点B,M重合,∴∠BAD>∠PAD>∠MAD。
∴2α>180°-2α>α,∴45°<α<60°。
举一反三
下列图形中是轴对称图形的是【   】

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如图1:△ABO和△CDO均为等腰直角三角形,∠AOB="∠COD=90°." 将△AOD绕点O顺时针旋转90°得△OBE,从而构造出以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的△BCE(如图2).若△BOC的面积为1,则△BCE面积等于___________.

如图3,已知△ABC,分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI,连接EG、FH、ID.

①在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形(保留作图痕迹);
②若△ABC的面积为1,则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于____
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如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中心,沿顺时针方向旋转,得到线段AB.过点B轴的垂线,垂足为E,过点C轴的垂线,交直线BE于点D.运动时间为秒.

(1)当点B与点D重合时,求的值;
(2)设△BCD的面积为S,当为何值时,?
(3)连接MB,当MBOA时,如果抛物线的顶点在△ABM内部(不包括边),求a的取值范围.
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如图所示,以点O为旋转中心,将按顺时针方向旋转得到,若=,则的余角为        度.
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等边三角形、平行四边形、矩形、圆 四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是        
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