如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=12BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．

题型：不详难度：来源：

如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=

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BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．

答案

证明：延长AE、BC交于点F．
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中，

∠ACF=∠BCD=90° AC=BC ∠FAC=∠DBC

∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=

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BD，
∴AE=EF，即点E是AF的中点．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线．