如图,在△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于点E,且AE=12BD,求证:BD是∠ABC的角平分线.

如图,在△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于点E,且AE=12BD,求证:BD是∠ABC的角平分线.

题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于点E,且AE=
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BD,求证:BD是∠ABC的角平分线.
答案
证明:延长AE、BC交于点F.
∵AE⊥BE,
∴∠BEF=90°,又∠ACF=∠ACB=90°,
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°,
∴∠DBC=∠FAC,
在△ACF和△BCD中,





∠ACF=∠BCD=90°
AC=BC
∠FAC=∠DBC

∴△ACF≌△BCD(ASA),
∴AF=BD.
又AE=
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BD,
∴AE=EF,即点E是AF的中点.
∴AB=BF,
∴BD是∠ABC的角平分线.
举一反三
如图,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,AB=8cm,BC=5cm,则△DBC的周长是______cm.
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如图,∠A=52°,O是AB、AC的垂直平分线的交点,那么∠OCB=______.
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在△ABC中,AD⊥BC,BD>CD,求证:AB>AC.
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如图,△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D,BE=6,则△BCE的周长是(  )
A.16B.22C.26D.21

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附加题:如图,在四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是CD的中点,且AE⊥BC,AF⊥CD.
(1)求证:AB=AD;
(2)请你探究∠EAF,∠BAE,∠DAF之间有什么数量关系?并证明你的结论.
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