已知,如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于F,交AB于E。求证:BF=FC

已知,如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于F,交AB于E。求证:BF=FC

题型:同步题难度:来源:
已知,如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于F,交AB于E。
求证:BF=FC
答案

证明:证法一:如图1: 连结AF,则AF=BF,

∴ ∠B=∠FAB
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠C
∵ ∠BAC=120°
∴∠ B=∠ C=30° 
∴∠FAB=30°
∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=120°-30°=90°
又∵∠C=30°
∴AF=FC,
∴BF=FC;
证法二:如图2,连结AF,过A作AG∥ EF交FC于G

 ∴ AF=BF
又∵∠B=30°,
∴∠AFG=60°,∠ BAG=90°
∴∠AGF=60°,
∴△ AFG为等边三角形
又∵∠C=30°,
∴∠GAC=30°
∴AG=GC
∴BF=FG=GC=FC。 

举一反三
给出以下两个定理:
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
应用上述定理进行如下推理,
如图,直线l是线段MN的垂直平分线。
∵点A在直线l
∴AM=AN( )
∵BM=BN
∴点B在直线l上( )
∵CM≠CN
∴点C不在直线l上( )
如果点C在直线l上,那么CM=CN( )
这与条件CM≠CN矛盾
以上推理中各括号内应注明的理由依次是(   )


A.②①①①
B.②①①②
C.①②①②
D.①②②①
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如图,AB=AD,BC=CD,AC,BD相交于E。由这些条件可以得出若干结论,请你写出其中三个正确结论(不要添加字母和辅助线,不要求证明)。
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如图所示,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,那么∠ADC=(    )。
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如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC和△ABD的周长分别为18cm和12cm。则线段AE为(    )cm。
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如图,在△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分线,∠CAE=∠B,求∠AEB的度数。
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