如图①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和DE上,连接AE,BG.(1)试猜想线段BG和

如图①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和DE上,连接AE,BG.(1)试猜想线段BG和

题型:不详难度:来源:
如图①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和DE上,连接AE,BG.
(1)试猜想线段BG和AE的数量关系,请直接写出你得到的结论;
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于360°),如图②,通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由;
(3)若BC=DE=2,在(2)的旋转过程中,当AE为最大值时,求AF的值.
答案
(1)BG=AE,
证明:∵△ABC是等腰直角三角形,AD⊥BC,
∴BD=DA,
又∵正方形DEFG中:GD=DE,∠GDB=∠EDA;
∴Rt△BDG≌Rt△ADE;
∴BG=AE;

(2)成立:
证明:连接AD,
∵Rt△BAC中,D为斜边BC的中点,
∴AD=BD,AD⊥BC,
∴∠ADG+∠GDB=90°,
∵EFGD为正方形,
∴DE=DG,且∠GDE=90°,
∴∠ADG+∠ADE=90°,
∴∠BDG=∠ADE,
在△BDG和△ADE中,





BD=AD
∠BDG=∠ADE
GD=ED

∴△BDG≌△ADE(SAS),
∴BG=AE;

(3)由(2)可得BG=AE,当BG取得最大值时,AE取得最大值;
分析可得:当旋转角度为270°时,BG=AE最大值为1+2=3,
此时如图:AF=


13

举一反三
如图,在4×3的网格上,由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案,请仿照此图案,在下列网格中分别设计出符合要求的图案(注:①不得与原图案相同;②黑,白方块的个数要相同).


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(1)如图,四边形ABCD是正方形,△ADF旋转一定角度后得到△ABE,如果AF=4,AB=7:
①写出图中的旋转过程;
②求BE的长;
③在图中作出延长BE与DF的交点G,并说明BG⊥DF.
(2)如图,将三角尺ABC(其中∠ABC=60°,∠C=90°)绕点B按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置,使得点A、B、C1在同一条直线上,那么这个角度等于______.
A.120°B.90°C.60°D.30°.
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如图所示,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,∠B=50°,把△ABC绕点A按顺时针方向旋转30°,得△AB′C′,B′C′交AB于点D,则∠BDB′的度数(  )
A.60°B.30°C.80°D.90°

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如图,将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′.若∠BAC=50°,则∠CAB′的度数为(  )
A.30°B.40°C.50°D.80°

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如图,小明把一块含60°角的三角板绕60°角的顶点以逆时针旋转到△DAE的位置.若已量出∠CAE=100°,则∠DAB=______.
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